Question

【题目】函数f（x）的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；
（Ⅲ）若f（x）＞f（2﹣x），求x的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（ I）当﹣1≤x≤0时，函数图象为直线且过点（﹣1，0）（0，3），直线斜率为k=3，

所以y=3x+3；

当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

当x=0时，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，

所以 ．

（ II）当x∈[﹣1，0]，令3x+3=1，解得 ；

当x∈（0，3]，令x2﹣4x+3=1，解得 ，

因为0＜x≤3，所以 ，

所以 或 ；

（ III）当x=﹣1或x=3时，f（x）=f（2﹣x）=0，

当﹣1＜x＜0时，2＜2﹣x＜3，由图象可知f（x）＞0，f（2﹣x）＜0，

所以f（x）＞f（2﹣x）恒成立；

当0≤x≤2时，0≤2﹣x≤2，f（x）在[0，2]上单调递减，

所以当x＜2﹣x，即x＜1时f（x）＞f（2﹣x），所以0≤x＜1；

当2＜x＜3时，﹣1＜2﹣x＜0，此时f（x）＜0，f（2﹣x）＞0不合题意；

所以x的取值范围为﹣1＜x＜1

【解析】（I）当﹣1≤x≤0时图形为直线，根据两点坐标可求出解析式；当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），带入坐标点可求出抛物线方程；（II）函数f（x）图形与直线y=1的交点横坐标即为所求x的值；（III）结合函数图形，利用函数的单调性来求解x的取值范围；
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值(函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法)．