Question

已知函数f(x)=x³+x²，数列{x_n}(x_n＞0)的第一项x₁=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(x_n+1,f(x_n+1))处的切线与经过(0,0)和(x_n，f(x_n))两点的直线平行(如图).求证：当n∈N^*时，

(1)+x_n=3+2x_n+1；

(2)()^n-1≤x_n≤()^n-2.

Answer 1

证明：(1)∵f′(x)=3x²+2x,

∴曲线y=f(x)在(x_n+1,f(x_n+1))处的切线斜率k_n+1=3+2x_n+1.

∵过(0,0)和(x_n,f(x_n))两点的直线斜率是+x_n.

    所以+x_n=3+2x_n+1.

(2)因为函数h(x)=x²+x当x＞0时单调递增.

    而+x_n=3+2x_n+1≤4+2x_n-1=(2x_n-1)²+2x_n+1.

∴x≤2x_n+1，即≥.

    因此x_n=··…·≥()^n-1.

    又+x_n≥2(+x_n+1),

    令y_n=+x_n,

    则≤.

∵y₁=x²₁+x₁=2,∴y_n≤()^n-1·y₁=()^n-2.

    因此x_n≤+x_n≤()^n-2.

    故()^n-1≤x_n≤()^n-2.