Question

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C₂的准线与C₁右准线间的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点．当|PQ|=

36

7

时，求|MN|的值．

Answer 1

分析：（1）先设C₁、C₂的标准方程，进而可得到a=2c，再求出C₁的右准线方程、C₂的准线方程，根据C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列求出a，b，c的值，得到答案．
（2）先表示出直线l的方程，然后设M、N、P、Q四点的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程进而得到两根之和、两根之积再由|PQ|=

36

7

可求出c的值，最后联立直线和抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，同样可得到两根之和根据是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．

解答：解：（Ⅰ）设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C₂：y²=4cx．
由条件知(2b)2=2a(

a2

c

-c)，得a=2c．C₁的右准线方程为x=

a2

c

，即x=4c．C₂的准线方程为x=-c．
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=3

3

．
从而C₁：

x2

36

+

y2

27

=1，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由（Ⅰ）知C1：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，即3x²+4y²=12c²．
由

3x2+4y2=12c2 y=x-c

，知x₃，x₄满足7x²-8cx-8c²=0，
从而|PQ|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

2

|x3-x4|=

24

7

c．
由条件|PQ|=

36

7

，得c=

3

2

，故C₂：y²=6x．
由

y2=6x y=x- 3 2

得x2-9x+

9

4

=0，所以x₁+x₂=9．
于是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是每年的重头戏，一般作为压轴题出现，要想答对必须熟练掌握其基础知识，多做练习．