【题目】如图所示，海中一小岛C周围
nmile内有暗礁，货轮由西向东航行至A处测得小岛C位于北偏东75°方向上，航行8nmile后，于B处测得小岛C在北偏东60°方向上.
（1）如果这艘货轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？请说明理由.
（2）如果有触礁的危险，这艘货轮在B处改变航向为南偏东α°（α>0）方向航行，顺利绕过暗礁，求a的最大值.（附：
）
【答案】（1）有,详见解析（2）a的最大值为
【解析】
（1）（方法一）：过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D.，在Rt△BCD中，可求出
，从而可判断是否有触礁的危险；
（方法二）过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D，设垂线段CD的长度为xnmile，BD为ynmile，从而可得
进而可求出x=4，
（2）延长CD至E，使
nmile，并连接BE，结合（1），在
中即可求解.
解：（1）（方法一）：有.
理由：如图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D.
由已知得∠CAB=15°，∠CBD=30°，所以∠ACB=15°，
所以AB=BC=8nmile，所以在Rt△BCD中，
（nmile）.
又
，所以货轮有触礁的危险.
（方法二）有.
理由：如图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D，
设垂线段CD的长度为xnmile，BD为ynmile.
则
即
所以
，解得x=4.
因为，所以货轮有触礁的危险.
（2）如图，延长CD至E，使nmile，并连接BE，
故
nmile，
由（1）得
nmile，
所以
.
因为
，
所以
，即
.
所以
.
所以α的最大值为75.
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【题目】
对定义在区间
上的函数
，若存在闭区间
和常数
，使得对任意的
都有
，且对任意的
都有
恒成立，则称函数为区间上的“U型”函数。
（1）求证：函数
是
上的“U型”函数；
（2）设是（1）中的“U型”函数，若不等式
对一切的
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若函数
是区间
上的“U型”函数，求实数
和
的值.
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【题目】已知定义域为
的函数
是奇函数
（Ⅰ）求
值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域
上的单调性；
（Ⅲ）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅳ）设关于
的函数
有零点，求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数
.
（1）指出函数
的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象；
（2）若关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若关于的方程
恰有
个不同的实数解，求实数
的取值范围.
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【题目】如图，要测量山顶上的电视塔FG的高度，已知山的西面有一栋楼AC（该楼的高度低于山的高度）.试设计在楼AC上测山顶电视塔高度的测量、计算方案.
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【题目】给出下列四个命题：
①回归直线
过样本点中心（
，
）
②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变
③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
④在回归方程
＝4x+4中，变量x每增加一个单位时，y平均增加4个单位
其中错误命题的序号是（ ）
A.①B.②C.③D.④
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【题目】某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取
株作为样本进行研究。株高在
及以下为不良，株高在到
之间为正常，株高在及以上为优等。下面是这个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁。请根据可见部分，解答下面的问题：
（1）求的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；
（2）通过频率分布直方图估计这株株高的中位数（结果保留整数）；
（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记
表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量的分布列（用最简分数表示）．
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【题目】已知椭圆
的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点
在椭圆
上，直线
与椭圆交于
，
两点，与
轴、
轴分别相交于点
和点
，且
，点
是点关于轴的对称点，
的延长线交椭圆于点
，过点、分别做轴的垂线，垂足分别为
、
.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线
，使得点平分线段，？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
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