Question

已知函数f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+a的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数的最大值求得a，进而求得函数解析式和最小正周期．
（2）利用正弦函数图象的性质，求得函数递增区间．

解答： 解：（1）f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+a=2

3

sinxcosx+2cos²x+a=

3

sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+

π

6

）+1+a，
∵sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）≤2+1+a，
∴由已知可得2+1+a=2，
∴a=-1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）函数f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

时，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，函数单调增，
∴函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

，]（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数图象能熟练掌握．