Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

，（x∈R）．
（1）用定义证明：不论a为何实数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（2）问是否存在这样的实数a使得f（x）为奇函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）任取x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．根据已知只要判断出函数值差的符号即可
（2）由奇函数的性质有 f（0）=0，代入可求a

解答：（1）证明：任取x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）解：存在，证明如下
∵若f（x）在x∈R上为奇函数，则有 f（0）=0，
即a-

1

20+1

=0．
解得 a=

1

2

．经检验满足题设

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明（判断）函数单调性中的简单应用，奇函数的性质f（0）=0（0在定义域内），属于基础试题