Question

已知函数f（t）满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t；
（3）试求满足f（t）=t的整数t的个数，并说明理由．

Answer 1

（1）x=y=0得f（0）=-1
x=y=-1得f（-2）=2f（-1）+2
而f（-2）=-2，∴f（-1）=-2
x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）
∴f（1）=1．

（2）x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）+n+1=f（n）+n+2
∴f（n+1）-f（n）=n+2，
∴当n∈N₊时，f（n）=f（1）+[3+4++（n+1）]=

1

2

(n2+3n-2)则f（n）-n=

1

2

(n2+n-2)
而当n∈N₊，且n＞1时，n²+n-2＞0，
∴f（n）＞n，则对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t．

（3）∵y=-x时f（x-x）=f（x）+f（-x）+1-x²
∴f（x）=x²-2-f（-x）
∵当x∈N₊时由（2）知f(x)=

1

2

(x2+3x-2)
当x=0时，f（0）=-1=

1

2

[02+3×0-2]
当x为负整数时，-x∈N₊，则f(-x)=

1

2

(x2-3x-2)，
∴f(x)=x2-2-

1

2

(x2-3x-2)=

1

2

(x2+3x-2)
故对一切x∈Z时，有f(x)=

1

2

(x2+3x-2)
∴当t∈Z时，由f（t）=t得t²+t-2=0，即t=1或t=2
∴满足f（t）=t的整数t有两个．