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    【题目】已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左焦点，的周长为..

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：直线与直线的交点在定直线上.

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

    【解析】

    （Ⅰ）根据椭圆的性质及已知条件求出，即可得出椭圆的标准方程。

    （Ⅱ）设出直线和直线的直线方程，分别代入椭圆的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出、，根据 确定的值，联立直线和直线的方程得到点P的坐标，从而确定点P在定直线上。

    解：（Ⅰ）由已知，得，，，

    椭圆的标准方程.

    （Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.

    令，，，，，.

    将直线的方程代入椭圆方程得：，

    ，，

    同理，.

    由得，此时，，

    直线，

    ，即点的定直线上.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

    （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

    （2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

    （3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

    广告投入x（单位：万元）

    1

    2

    3

    4

    5

    销售收益y（单位：万元）

    1

    3

    4

    7

    表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.

    回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某公司需要对所生产的三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所示：

    产品

    A

    B

    C

    数量（件）

    180

    270

    90

    采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取6件.

    （1）求分别抽取三种产品的件数；

    （2）将抽取的6件产品按种类编号，分别记为，现从这6件产品中随机抽取2件.

    （ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；

    （ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：

    维修次数

    8

    9

    10

    11

    12

    频数

    10

    20

    30

    30

    10

    记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数.

    （1）若=10，求y与x的函数解析式；

    （2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求n的最小值；

    （3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】（本小题满分10分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．

    （1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；

    （2）若二面角的大小为，求的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：

    （1）求实数的值；

    （2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知点，，圆C的方程为，过点A的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点.

    （1）求直线l的方程；

    （2）求面积的最大值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下列命题中，正确的共有（ ）

    ① 因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；

    ② 两个平面有时只相交于一个公共点；

    ③ 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；

    ④ 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内；

    A.0个B.1个C.2个D.3个

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，在线段上，且.

    （1）证明：面；

    （2）若，面面，求二面角的余弦值．

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