【题目】设为坐标原点,定义非零向量,的“相伴函数”为,
向量,称为函数的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
(1)设函数,求证:;
(2)记,的“相伴函数”为,若函数,,与直线有且仅有四个不同的交点,求实数的取值范围;
(3)已知点,满足,向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)(3)
【解析】
(1)依题意,将可化为h(x)于是结论可证;
(2)去绝对值得函数的单调性及最值,利用交点个数求得k的范围
(3)由f(x)sin(x+φ)可求得x0=2kπφ,k∈Z时f(x)取得最大值,其中tanx0,换元求得的范围,再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范围.
(1)∵
∴函数h(x)的相伴向量(,),
∴h(x)∈S
(2)∵则 ,,
则在单调递增,单调递减,单调递增,单调递减,又 ;函数,,与直线有且仅有四个不同的交点,实数的取值范围为
(3)的相伴函数f(x)=asinx+bcosxsin(x+φ),
其中cosφ,sinφ
当x+φ=2kπ,k∈Z即x0=2kπφ,k∈Z时f(x)取得最大值,
∴tanx0=tan(2kπφ)=cotφ,
∴tan2x0.
令m,则 解得 (m=1不成立)
则tan2x0,()
∵单调递增,故m∈
∴tan
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【题目】设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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【题目】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率是,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是,甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率是.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率;
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【题目】下列说法正确的是( )
A.因为,所以是函数的一个周期;
B.因为,所以是函数的最小正周期;
C.因为时,等式成立,所以是函数的一个周期;
D.因为,所以不是函数的一个周期.
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【题目】如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若BC=a,∠ABC=,设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)当a固定,变化时,求取最小值时的角.
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【题目】新能源汽车的春天来了!2018年3月5日上午,李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车,他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表:
月份 | 2017.12 | 2018.01 | 2018.02 | 2018.03 | 2018.04 |
月份编号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(万辆) | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)经分析,可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量(万辆)与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量;
(2)2018年6月12日,中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大,某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
补贴金额预期值区间(万元) | ||||||
20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
将频率视为概率,现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人,记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为,求的分布列及数学期望.
参考公式及数据:①回归方程,其中,,②,.
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【题目】在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科,3门文科)中选择3门学科参加等级考试,小李同学受理想中的大学专业所限,决定至少选择一门理科学科,那么小李同学的选科方案有________种.
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【题目】如图,直线与抛物线交于两点,直线与轴交于点,且直线恰好平分.
(1)求的值;
(2)设是直线上一点,直线交抛物线于另一点,直线交直线于点,求的值.
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