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8.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=45°,C点的仰角∠CAB=60°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=45°.已知山高BC=100m,则山高MN=$\frac{200}{3}$m.

分析 由题意,通过解△ABC可先求出AC的值,解△AMC,由正弦定理可求AM的值,在RT△MNA中,AM=$\frac{200\sqrt{2}}{3}$m,∠MAN=45°,从而可求得MN的值.

解答 解:在RT△ABC中,∠CAB=60°,BC=100m,所以AC=$\frac{200}{\sqrt{3}}$m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=45°,从而∠AMC=60°,
由正弦定理得,$\frac{AC}{sin60°}=\frac{AM}{sin45°}$,因此AM=$\frac{200\sqrt{2}}{3}$m.
在RT△MNA中,AM=$\frac{200\sqrt{2}}{3}$m,∠MAN=45°,得MN=$\frac{200}{3}$m;
故答案为:$\frac{200}{3}$.

点评 本题主要考查了正弦定理的应用,考查了解三角形的实际应用,属于中档题.

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