Question

17．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2$\sqrt{2}$，直线4x-3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为$\frac{8}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{1}{2}$）对称．
（i）求k的取值范围；
（ii）求证：△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{{b}^{2}-{d}^{2}}$，即$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}$，解得：b=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）（i）由题意可知：设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点P坐标，代入直线方程l方程，由△＞0，即可求得k的取值范围；
由三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}（{k}^{2}-{m}^{2}+2）}{（{k}^{2}+2）^{2}}}$，由基本不等式的性质，即可求得三角形面积的最大值，则椭圆的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求证：△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2$\sqrt{2}$，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，
由O到直线4x-3y+3=0距离d=$\frac{丨3丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，
直线4x-3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为$\frac{8}{5}$，
则$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{{b}^{2}-{d}^{2}}$，即$\frac{8}{5}$=2$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}$，解得：b=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）（i）由题意可知：直线l：y=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{1}{2}$）对称，则设直线l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+k²）x²+2kmx+m²-2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-2}{2+{k}^{2}}$，
根据题意：△=4k²m²-4（2+k²）（m²-2）=8（k²-m²+2）＞0，
设线段AB的中点P（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{km}{2+{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{2m}{2+{k}^{2}}$，
∵点P在直线y=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{1}{2}$）上，$\frac{2m}{2+{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{km}{2+{k}^{2}}$+$\frac{1}{2}$），
∴m=-$\frac{2+{k}^{2}}{2k}$，代入△＞0，可得3k⁴+4k²-4＞0，
解得：k²＞$\frac{2}{3}$，则k＜-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或k＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
直线AB与y轴交点横坐标为m，
（ii）证明：△AOB面积S=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$•丨m丨•$\frac{\sqrt{8（{k}^{2}-{m}^{2}+2）}}{{k}^{2}+2}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}（{k}^{2}-{m}^{2}+2）}{（{k}^{2}+2）^{2}}}$，
由基本不等式可得：m²（k²-m²+2）≤（$\frac{{m}^{2}+{k}^{2}-{m}^{2}+2}{2}$）²=$\frac{（{k}^{2}+2）^{2}}{4}$，
∴△AOB面积S≤$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当m²=k²-m²+2，即2m²=k²+2，
又∵m=-$\frac{2+{k}^{2}}{2k}$，解得：k=±$\sqrt{2}$，
当且仅当k=±$\sqrt{2}$时，△AOB面积取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由椭圆C的方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式及基本不等式的性质的应用，考查计算能力，属于中档题．