【题目】如图,点是以为直径的圆上的动点(异于,),已知,,平面,四边形为平行四边形.
(1)求证:平面;
(2)当三棱锥的体积最大时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)根据平行四边形的性质、平行线的性质,结合线面垂直的性质、直径所对圆周角的性质、线面垂直的判定理进行证明即可;
(2)根据三棱锥的体积公式,结合基本不等式可以求出的长.
法一:以为坐标原点,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,利用空间平面向量夹角公式,结合线面垂直的性质进行求解即可;
法二:根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行线的性质可以证明出平面平面的交线与BC平行,在圆内作交圆于点,可以证明出直线是平面平面的交线,这样利用线面垂直的判定定理,结合二面角的定义进行求解即可.
(1)因为四边形为平行四边形,所以.
因为平面,所以平面,所以.
因为是以为直径的圆上的圆周角,所以,
因为,平面,
所以平面.
(2)中,设,,
所以,
因为,,所以,
所以
,
当且仅当,即时,三棱锥体积的最大值为.
法一:以为坐标原点,以,,为,,轴建立空间直角坐标系.
则,,,,
所以,,平面的法向量,
设平面的法向量,,
所以,即,
所以.
法二:因为,平面,平面,
所以平面,
设平面平面,则,
又,所以,
又点是平面与平面公共点,所以过点,
过点在圆内作交圆于点,则直线与重合,
所以为平面与平面的交线,
因为,,所以,
又因为平面,所以,所以,
所以为两个平面所成的锐二面角的平面角,
在中,
所以,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位:台),并根据这10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
(1)当时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为,乙型号电视机的“星级卖场”数量为,比较的大小关系;
(2)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数,求的分布列和数学期望;
(3)若,记乙型号电视机销售量的方差为,根据茎叶图推断为何值时,达到最小值.(只需写出结论)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高中社团进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查,若开通“微博”的称为“时尚族”,否则称为“非时尚族”,通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
完成以下问题:
(Ⅰ)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;
(Ⅱ)从[40,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和期望E(X)..
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国女排,曾经十度成为世界冠军,铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为:扎扎实实,勤学苦练,无所畏惧,顽强拼搏,同甘共苦,团结战斗,刻苦钻研,勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用,给予全国人民巨大的鼓舞.
(1)看过中国女排的纪录片后,某大学掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高,将该大学近5个月体重超重的人数进行统计,得到如下表格:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
体重超重的人数y | 640 | 540 | 420 | 300 | 200 |
若该大学体重超重人数y与月份变量x(月份变量x依次为1,2,3,4,5…)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下?
(2)在某次排球训练课上,球恰由A队员控制,此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递,已知每当球由A队员控制时,传给B队员的概率为,传给C队员的概率为;每当球由B队员控制时,传给A队员的概率为,传给C队员的概率为;每当球由C队员控制时,传给A队员的概率为,传给B队员的概率为.记,,为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
(i)若,B队员控制球的次数为X,求;
(ii)若,,,,,证明:为等比数列,并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.
附1:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:;.
附2:参考数据:,.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1D与AD1交于点E,AA1=AD=2AB=4.
(1)证明:AE⊥平面ECD.
(2)求直线A1C与平面EAC所成角的正弦值.
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