Question

已知函数f(x)＝(x－a)²(x－b)(a，b∈R，a＜b).

(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程.

(2)设x₁，x₂是f′(x)＝0的两个根，x₃是f(x)的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂.

证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某种顺序排列后成等差数列，并求x₄.

Answer 1

(1)当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)²(x－2)，

因为f′(x)＝(x－1)(3x－5)，故f′(2)＝1，f(2)＝0，

所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.

(2)因为f′(x)＝3(x－a)(x－)，

由于a<b，故a<.

所以f(x)的两个极值点为x＝a，x＝.

不妨设x₁＝a，x₂＝，

因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f(x)的零点，

故x₃＝b.

又因为－a＝2(b－)，

所以x₁，x₄，x₂，x₃成等差数列.

所以x₄＝(a＋)＝，

所以存在实数x₄满足题意，且x₄＝.