Question

【题目】如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．

（1）证明：四边形EFGH是矩形；
（2）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，

且侧棱AD⊥底面BDC．

如图，

∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD平面ABD，

∴AD∥EF．

∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD平面ADC，

∴AD∥GH．

由平行公理可得EF∥GH．

∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC平面BDC，

∴BC∥FG．

∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC平面ABC，

∴BC∥EH．

由平行公理可得FG∥EH．

∴四边形EFGH为平行四边形．

又AD⊥平面BDC，BC平面BDC，

∴AD⊥BC，则EF⊥EH．

∴四边形EFGH是矩形；

（2）解：

解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，

∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，

∵△MEH是等腰直角三角形，

∴MN= ，又MF= AB= ，

∴sin∠AFN= = ，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是 ．

解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

由三视图可知DB=DC=2，DA=1．

又E为AB中点，

∴F，G分别为DB，DC中点．

∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0， ），G（0，1，0）．

则 ．

设平面EFGH的一个法向量为 ．

由 ，得 ，取y=1，得x=1．

∴ ．

则sinθ=|cos＜ ＞|= = = ．

【解析】（1）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（2）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出 及平面EFGH的一个法向量 ，用 与 所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．