Question

已知离心率为

1

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，且点B在圆M：（x-1）²+y²=4上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点A的直线l与圆M交于P，Q两点，且

MP

•

MQ

=-2，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用几何意义求出b=

3

，a=2，c=1即可得出方程．（2）根据由

MP

•

MQ

=-2，可得∠PMQ=120°，求解k=±

2

4

，即可得出直线方程．

解答： 解：：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，
A（-a，0），B（0，b），离心率为

1

2

，
∵点B在圆M：（x-1）²+y²=4上．
∴B（0，

3

），
b=

3

，a=2，c=1，
∴椭圆C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）由题意知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x+2），
由

MP

•

MQ

=-2，
所以cos∠PMQ=

MP • MQ

| MP || MQ |

=

-2

4

=-

1

2

，
可得∠PMQ=120°，
故圆心M到直线l的距离为1，
所以k=±

2

4

，
直线方程为x+2

2

y+2=0或x-2

2

y+2=0．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的方程，位置关系，向量的运用，属于综合题，难度较大．