Question

已知向量

a

=(sin(x-

π

4

)，-1)，

b

=(2，2)且f(x)=

a

•

b

+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-

π

4

)的值域
解：（1）列表
（2）作图

Answer 1

分析：①利用“五点法”得到五点，列出表格，可画图；
②由周期公式可得周期，根据正弦函数的增区间可得结果；
③根据正弦函数的最大值可求；
④根据图象的平移、伸缩变换规律可得结果；
⑤先由x的范围得x-

π

4

的范围，从而可得答案；

解答：解：①f（x）=2sin（x-

π

4

），列表如下：

函数f（x）在一个周期内的图象如图所示：

②f（x）的最小正周期为2π，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．
③当x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

3π

4

，k∈Z时，f（x）取得最大值为2，
f（x）取得最大值时x的取值集合为：{x|x=2kπ+

3π

4

，k∈Z}．
④先把y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sinx的图象，
然后把y=sinx的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=sin（x-

π

4

）的图象，
把y=sin（x-

π

4

）图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到f（x）=2sin（x-

π

4

）的图象；
⑤当x∈[0，π]时，x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
此时函数y=2sin(x-

π

4

)的值域为：[-

2

，2]．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象作法、图象变换及单调性最值，本题综合性较强，但涉及知识较为基础，应熟练掌握．