分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，结合正弦函数的周期公式，即可得到所求；
（2）由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
（3）由x的范围，可得2x-$\frac{π}{6}$的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最小值，进而得到a的值．
解答 解：（1）向量$\overrightarrow m$=（2cosωx，1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}sinωx$-cosωx，a），
f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-2cos2ωx+a
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+a-1
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+a-1，
T=$\frac{2π}{2ω}$=π，则ω=1；
（2）f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a-1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即有函数f（x）的单调递增区间为（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$），k∈Z；
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，则sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
即有f（x）的最小值为2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+a-1=$\sqrt{3}$，
解得a=1+2$\sqrt{3}$．
点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，同时考查周期公式和正弦函数的单调区间和值域，属于中档题．
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