Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，
（1）求p及m的值．
（2）过焦点F的直线L交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y²=2px（p＞0）上的点到焦点的距离公式d=x+

p

2

，可求得p，从而求得m的值；
（2）直线L斜率存在，可设为k，L的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得x₁+x₂，x₁x₂；再由弦长公式|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=8，可求得k的值，从而求得直线L的方程．

解答：解：（1）由题意知|FQ|=4+

p

2

=5，∴p=2．∵m²=2×2×4，∴m=±4
（2）由题意知直线L的斜率存在，设为k，则直线L的方程为：y=k（x-1），代入抛物线方程：y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1；
又∵|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=8，|AB|=

1+12

(x1+x2)2-4x1x2

=8∴

1

k4

+

1

k2

-2=0∴k2=1∴k=±1；
∴所求直线方程为：x-y-1=0或x+y-1=0．

点评：本题考查了抛物线的几何性质以及弦长公式的应用，也考查了一定的计算能力，解题时要灵活运用公式，正确解答．