Question

(

3

2

+1)n的展开式中有且仅有5个有理项，则最小自然数n等于

 

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令2的指数为3的倍数，据已知条件求出k取得值，得到r的最大值，利用n，r的关系求出n的最小值．

解答：解：展开式的通项为Tr+1=

C

r n

2

r

3

要使其为有理数，2的指数为整数，所以r为3的倍数
设r=3k且0≤r≤n（r∈N）
∵展开式中仅有5个有理项
∴k=0，1，2，3，4
∴r=0，3，6，9，12，
则有n≥12得n的最小值为12
故答案为：12

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查有理项是幂的指数为整数．