Question

如图，线段AB过y轴上一点N(0，m)，AB所在直线的斜率为k(k≠0)，两端点A、B到y轴的距离之差为4k.

(Ⅰ)求出以y轴为对称轴，过A、O、B三点的抛物线方程；

(Ⅱ)过抛物线的焦点F作动弦CD，过C、D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值.

 

Answer 1

解：(Ⅰ)设AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x²=2py，且A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

不妨设x₁＞0，x₂＜0 ．∴|x₁|-|x₂|=4k  即x₁+x₂=4k把y=kx+m代入x²=2py得x²-2pkx-2pm=0

∴x₁+x₂=2pk  ∴2pk=4k ∴p=2故所求抛物线方程为x²=4y 

(Ⅱ)设C(x₃，)，D(x₄，)

过抛物线上C、D两点的切线方程分别是y=，y=

∴两条切线的交点M的坐标为()

设CD的直线方程为y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0

∴x₃x₄=-4  故M的坐标为(，-1) 

故点M的轨迹为y=-1.

∵=(x₃，)  =(x₄，)

∴·=x₃x₄+·-()+1=x₃x₄+1-()+1=-()-2

而+(-1-1)²=

故=-1