Question

【题目】设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A.（ ，2）
B.（ ，2）
C.[ ，2）
D.（ ，2]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，

∴f（﹣x）=（ ）﹣x﹣1=2x﹣1，

∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．

∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），

∴当x∈[2，4]时，（x﹣4）∈[﹣2，0]，∴f（x）=f（x﹣4）=xx﹣4﹣1；

当x∈[4，6]时，（x﹣4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．

∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，

∴函数y=f（x）与函数y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点，

通过画图可知：恰有三个交点的条件是 ，解得： ＜a＜2，

即 ＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（ ，2）．

所以答案是：B

【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．