Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc²C．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且$c=\sqrt{3}$，求a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得c²=a²+b²-ab，利用余弦定理可求cosC，结合C角为三角形的内角，可求C的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$A+B=\frac{2π}{3}，B=\frac{2π}{3}-A$，利用正弦定理可求a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a-b=2sin（A-$\frac{π}{3}$），可求范围A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质即可得解a-b的范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc²C，
∴1-2sin²A+1-2sin²B+2sinAsinB=2（1-sin²C），
即sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB，…（3分）
由正弦定理得：c²=a²+b²-ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
且角C角为三角形的内角，即$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$A+B=\frac{2π}{3}，B=\frac{2π}{3}-A$…（7分）
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得，a=2sinA，b=2sinB，$a-b=2sinA-2sinB=2sinA-2sin（\frac{2π}{3}-A）=sinA-\sqrt{3}cosA=2sin（A-\frac{π}{3}）$，…（10分）
∵△ABC为锐角三角形，$0＜B＜\frac{π}{2}$，又∵$B=\frac{2π}{3}-A$，
∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$），
∴$2sin（A-\frac{π}{3}）∈（-1，1）$，即a-b的取值范围为（-1，1）．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．