Question

6．已知，在四棱锥P-ABCD中，等边△APD所在平面垂直于平行四边形ABCD所在平面，M、N分别是棱BC与PD的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）已知∠ABC=$\frac{π}{3}$，BC=2AB=2，求三棱锥N-MCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD中点E，连接ME，NE，结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME∥AB，NE∥PA，由面面平行的判定定理易判断出平面MNE∥平面PAB，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PAB；
（2）求出N到平面MCD的距离，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥N-MCD的体积．

解答 证明：（1）取AD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是AB，PC的中点，
∴ME∥AB，NE∥PA
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PAB，
∴MN∥平面PAB
（2）解：∵等边△APD所在平面垂直于平行四边形ABCD所在平面，
∴N到平面MCD的距离h=$\sqrt{3}$
∵BC=2AB=2，∴MC=CD=1，
∵∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∴∠MCD=$\frac{2π}{3}$
∴三棱锥N-MCD的体积=$\frac{1}{3}{S}_{△MCD}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查求三棱锥N-MCD的体积．熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键．