Question

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（1）求

AB

 与

AC

的夹角及|

AB

|．
（2）求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B、C的坐标算出向量

AB

、

AC

的坐标，由向量模的公式加以计算，可得

|AB|

=

|AC|

=

14

，再利用空间向量的夹角公式，算出

AB

与

AC

的夹角余弦等于

1

2

，从而得到

AB

与

AC

的夹角为

π

3

；
（2）利用三角形的面积公式，代入（1）中算出的

|AB|

、

|AC|

与∠BAC的大小，即可算出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
∴

AB

=

OB

-

OA

=（-2，-1，3），

AC

=

OC

-

OA

=（1，-3，2），
由此可得

|AB|

=

(-2)2+(-1)2+32

=

14

，

|AC|

=

12+(-3)2+22

=

14

．
设

AB

与

AC

的夹角为θ，则cosθ=

AB • AC

| AB || AC |

=

-2+3+6

14 × 14

=

1

2

，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=

π

3

，即

AB

与

AC

的夹角为

π

3

；
（2）∵

|AB|

=

|AC|

=

14

，

AB

与

AC

的夹角为

π

3

，即∠BAC=

π

3

，
∴△ABC的面积S=

1

2

|AB|

•

|AC|

•sin∠BAC=

1

2

×

14

×

14

×

3

2

=

7 3

2

．

点评：本题给出空间点A、B、C的坐标，求

AB

与

AC

的夹角大小与三角形ABC的面积．着重考查了空间向量的坐标运算、向量的数量积公式及其运算性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题．