Question

13．已知函数f（x）=x²-4a|x|+2，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（-4，4）上有四个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，设函数f（x）在[m-1，m+1]上的最大值为g（m），求g（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得4a=$\frac{{x}^{2}+2}{|x|}$=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，4）有4个实根，作出函数y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）的图象，通过图象观察，可得a的范围；
（2）f（x）=x²-4|x|+2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+2，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+2，x＜0}\end{array}\right.$，作出f（x）的图象．对m讨论，结合图象和单调性，可得g（m）的解析式，再由二次函数的最值的求法，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）函数f（x）在区间（-4，4）上有四个零点，（x≠0），
即为4a=$\frac{{x}^{2}+2}{|x|}$=|x|+$\frac{2}{|x|}$，
由0＜x＜$\sqrt{2}$时，y=x+$\frac{2}{x}$递减，$\sqrt{2}$＜x＜4时，函数y递增；
当x=$\sqrt{2}$时，y=2$\sqrt{2}$；x=4时，y=$\frac{9}{2}$；
又y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）为偶函数，
作出函数y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）的图象，
由图象可得当2$\sqrt{2}$＜4a＜$\frac{9}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜$\frac{9}{8}$时，
y=4a和y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在（-4，0）∪（0，4）有4个交点，
即有函数f（x）在区间（-4，4）上有四个零点；
（2）f（x）=x²-4|x|+2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+2，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+2，x＜0}\end{array}\right.$，
作出f（x）的图象．
①m+1≤-2即m≤-3时，[m-1，m+2]为减区间，
可得g（m）=f（m-1）=（m+2）²-2；
②当-3＜m≤-2时，f（x）在[m-1，-2）递减，（-2，m+1）递增，
且f（m-1）≥f（m+1），可得g（m）=f（m-1）=（m+2）²-2；
③当-2＜m≤-1时，f（x）在[m-1，-2）递减，（-2，m+1）递增，
且f（m-1）＜f（m+1），可得g（m）=f（m+1）=（m+3）²-2；（m+2）
④当m-1＜0≤m+1≤2即为-1≤m＜1，g（m）=f（0）=2；
⑤当0≤m-1＜m+1≤2即m=1时，g（m）=f（0）=2；
⑥当1＜m≤2时，f（x）在[m-1，2）递减，（2，m+1）递增，
且f（m-1）≥f（m+1），可得g（m）=f（m-1）=（m-3）²-2；
⑦当2＜m≤3时，f（x）在[m-1，2）递减，（2，m+1）递增，
且f（m-1）＜f（m+1），可得g（m）=f（m+1）=（m-1）²-2；
⑧当2＜m-1＜m+1即有m＞3时，[m-1，m+1]递增，则g（m）=f（m+1）=（m-1）²-2．
综上可得，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{（m+2）^{2}-2，m≤-2}\\{（m+3）^{2}-2，-2＜m≤-1}\\{2，-1＜m≤1}\\{（m-3）^{2}-2，1＜m≤2}\\{（m-1）^{2}-2，m＞2}\end{array}\right.$；
当m≤-2时，g（m）≥-2；-2＜m≤-1时，g（m）∈（-1，2]；
当-1＜m≤1时，g（m）=2；1＜m≤2时，g（m）∈[-1，2）；
m＞2时，g（m）＞-1．
综上可得，g（m）的最小值为-2．

点评 本题考查含绝对值的函数的零点和最值的求法，注意运用数形结合的思想方法和分类讨论的思想方法，考查化简运算求解能力，属于难题．