Question

（本小题满分10分）如图5，⊙O₁和⊙O₂公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO₁与⊙O₁与E、G两点，直线DO₂交⊙O₂与F、H两点。
（1）求证：～；
（2）若⊙O₁和⊙O₂的半径之比为9：16，求的值。

Answer 1

（1）同解析（2）。

（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD²=DE×DG，AD²=DF×DH,
∴DE×DG= DF×DH, ∴，
又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG。………………………4分
（2）连结O₁ A，O₂A，∵AD是两圆的公切线，
∴O₁A⊥AD，O₂A⊥AD，
∴O₁O₂共线，
∵AD和BC是⊙O₁和⊙O₂公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD²= O₁A×O₂A，………………………8分
设⊙O₁和⊙O₂的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，
∴144x²=DE（DE+18x），144x²=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴。………………………10分