Question

9．已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．若对一切n∈N^*，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n总成立，则d+q=1．

Answer 1

分析 通过$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n计算可得$\frac{{{a}_{1}}^{2}+（2n-2）d{a}_{1}+n（n-2）{d}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+2（n-1）d+（n-1）^{2}{d}^{2}}$恒为常数，比较可知d=0、q=1．

解答 解：∵$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}•\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=q$，
∴${a_{n+1}}•{a_{n-1}}=qa_n^2$，
∴$（{a_1}+nd）•（{a_1}+nd-2d）=q（{a_1}+nd-d）_{\;}^2$对n∈N^*恒成立，
所以q=$\frac{{（a}_{1}+nd）[{a}_{1}+（n-2）d]}{[{a}_{1}+（n-1）d]^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}+（2n-2）d{a}_{1}+n（n-2）{d}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+2（n-1）d+（n-1）^{2}{d}^{2}}$，
由于q为常数，且n∈N^*，所以d=0、q=1，所以d+q=1．
故答案为：1．

点评 本题考查数列的相关知识，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．