Question

11．设a＞b＞0，求证：$\frac{{（a-b）}^{2}}{8a}$＜$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$＜$\frac{（a-b）^{2}}{8b}$．

Answer 1

分析 通过a＞b＞0可知$\sqrt{a}$＞$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$＞$\sqrt{b}$，取倒数可知$\frac{1}{\sqrt{a}}$＜$\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$＜$\frac{1}{\sqrt{b}}$，利用同时乘以$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）$整理可知$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$＜1＜$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$，两边平方、除以2、并同时乘以$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}$，整理即得结论．

解答 证明：∵a＞b＞0，
∴$\sqrt{a}$＞$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$＞$\sqrt{b}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{a}}$＜$\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$＜$\frac{1}{\sqrt{b}}$，
∴$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$＜$\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$•$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）$＜$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$＜1＜$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$，
∴$\frac{1}{4a}$•$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}$＜1＜$\frac{1}{4b}$•$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}$，
∴$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{8a}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{8b}$，
∴$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{8a}$＜$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}$＜$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{8b}$，
∴$\frac{（a-b）^{2}}{8a}$＜$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}$＜$\frac{（a-b）^{2}}{8b}$，
∴$\frac{（a-b）^{2}}{8a}$＜$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$＜$\frac{（a-b）^{2}}{8b}$．

点评 本题考查不等式的证明，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．