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【题目】已知函数

1)设的极值点.求,并求的单调区间;

2)证明:当时,

【答案】(1) a=fx)在(02)单调递减,在(2+∞)单调递增.

(2)证明见解析.

【解析】分析:(1)先确定函数的定义域,对函数求导,利用f ′(2)=0,求得a=从而确定出函数的解析式,之后观察导函数的解析式,结合极值点的位置,从而得到函数的增区间和减区间;

(2)结合指数函数的值域,可以确定当afx)≥,之后构造新函数gx)=利用导数研究函数的单调性,从而求得gx)≥g(1)=0,利用不等式的传递性,证得结果.

详解:(1)fx)的定义域为f ′x)=aex

由题设知,f ′(2)=0,所以a=

从而fx)=f ′x)=

0<x<2时,f ′x)<0;当x>2时,f ′x)>0.

所以fx)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.

(2)当afx)≥

gx)=

0<x<1时,g′x)<0;当x>1时,g′x)>0.所以x=1gx)的最小值点.

故当x>0时,gx)≥g(1)=0.

因此,当时,

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