Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₂=3，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列且满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24．设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）本题是对数列的基本量的考查，根据所给的数列的一项和前六项的和，用求和公式，得到它的另一项，算出公差和首项，写出通项公式．
（2）根据所给的等比数列的两个等式，得到等比数列的首项和公比，写出通项，题目要求的是两个数列的积的形式的前n项和，并且一个数列是等比，一个是等差，采用错位相减法．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴S₆=3（a₁+a₆）=3（a₂+a₅）=36．
∵a₂=3，∴a₅=9，∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2，
又∵a₁=a₂-d=1，∴a_n=2n-1．
（2）由等比数列{b_n}满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24，
得

b4+b5

b1+b2

=q³=8，∴q=2，
∵b₁+b₂=3，∴b₁+b₁q=3，∴b₁=1，b_n=2^n-1，
∴a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴T_n=1×1+3×2+5×2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，
则2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减得（1-2）T_n=1×1+2×2+2×2²++2•2^n-2+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，即
-T_n=1+2（2¹+2²++22^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2（2ⁿ-2）-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评：本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．