Question

15．已知正四棱锥V-ABCD底面中心为O，E，F分别为VA，VC的中点，底面边长为2，高为4，建立适当的空间直角坐标系，求异面直线BE与DF所成角的正切值．

Answer 1

分析 以底面正方形ABCD中心O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与DF所成角的正切值．

解答 解：以底面正方形ABCD中心O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），
V（0，0，4），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），F（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\sqrt{2}，2$），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}，2$），
设向量BE和DF成角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{DF}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}-2+4}{\sqrt{\frac{1}{2}+2+4}•\sqrt{\frac{1}{2}+2+4}}$|=$\frac{3}{13}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3}{13}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{13}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．
∴异面直线BE与DF所成角的正切值为$\frac{4\sqrt{10}}{13}$．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．