Question

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f（x）=1-ax²（a＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P（t，f（t））．
（1）将△OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S（t）；
（2）若在t=

1

2

处，S（t）取得最小值，求此时a的值及S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的导函数，设出P的坐标，确定过点P的切线方程，进而可得M，N的坐标，表示出三角形的面积；
（2）把t=

1

2

代入S（t），利用导数研究S（t）的最值问题，即可确定△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值；

解答：解：（1）∵曲线f（x）=1-ax²（a＞0）
可得f′（x）=-2ax，P（t，f（t））．
直线MN的斜率为：k=f′（t）=-2at，可得
L_MN：y-f（t）=k（x-t）=-2at（x-t），
令y=0，可得x_M=t+

1-at2

2at

，可得M（t+

1-at2

2at

，0）；
令x=0，可得y_N=1+at²，可得N（0，1+at²），
∴S（t）=S_△OMN=

1

2

×（1+at²）×

at2+1

2at

=

(at2+1)2

4at

；
（2）t=

1

2

时，S（t）取得最小值，
S′（t）=

2(at2+1)×2at×4at-4a(at2+1)2

16a2t2

=

(at2+1)(12a2t2-4a)

16a2t2

，
∴S′（

1

2

）=0，可得12a²×

1

4

-4a=0，可得a=

4

3

，
此时可得S（t）的最小值为S（

1

2

）=

(at2+1)2

4at

=

( 4 3 × 1 4 +1)2

4× 4 3 × 1 2

=

2

3

；

点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，求出三角形的面积，利用导数法求最值，属于中档题．