Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A（-2，0），离心率e=

1

2

，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）当|PQ|=

24

7

时，求直线PQ的方程．
（3）判断△ABC能否成为等边三角形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得．
（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，则利用弦长公式可表示出|PQ|求得m，直线的方程可得．
（3）假设△APQ是等边三角形，必有|AP|=|AQ|，利用两点间的距离公式表示出等式，求得关于m的方程，求得m，验证不符合题意．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知a=2，e=

c

a

=

1

2

∴c=1，b²=a²-c²=3
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）椭圆右焦点F（1，0）．
设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）．
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3x²+4）y²+6my-9=0．①
显然，方程①的△＞0．设P(x 1，y1)，Q(x2，y2)，
则有y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
|PQ|=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)( 36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4 )

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=12×

m2+1

3m2+4

．
∵|PQ|=

24

7

，
∴=12×

m2+1

3m2+4

=

24

7

．
解得m=±1．
∴直线PQ方程为x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．
（3）△APQ不可能是等边三角形．
如果△APQ是等边三角形，必有|AP|=|AQ|，
∴（x₁+2）²+y₁²=（x₂+2）²+y₂²，
∴（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴[m（y₁+y₂）+6]m（y₁-y₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵y₁≠y₂，∴(m 2+1)(y1+y2)+6m=0，
∴(m 2+1)

-6m

3m 2+4

+6m=0，
∴m=0，或

m 2+1

3m 2+4

=1（无解）．
而当m=0时，|PQ|=3，|AP|=|AQ|=

3 5

2

，不能构成等边三角形．
∴△APQ不可能是等边三角形．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生逻辑思维能力和统筹运算的能力．