Question

已知实数x、y满足方程x²+y²－4x+1=0.求
（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x²+y²的最大值和最小值.

Answer 1

（1）k_max=，k_min=－.   （2）（y－x）_min=－2－.
（3）2－

（1）如图，方程x²+y²－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.

设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k²=3.所以k_max=，k_min=－.
（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之）
（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得
=，即b=－2±，故（y－x）_min=－2－.
（3）x²+y²是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x²+y²）_max=｜OC′｜=2+，（x²+y²）_min=｜OB｜=2－.