Question

已知向量=（-1，2），=（1，3），=（3，m）．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若点A，B，C构成直角三角形，且∠B=90°，求∠ACO的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为A，B，C能构成三角形，所以向量、不共线．算出向量、的坐标，根据向量共线的条件列式，解之即可得到实数m应满足的条件；
（2）由向量与垂直，列出关于m的方程，解之得m=-1．进而得到向量、的坐标，利用向量的夹角公式进行计算，即可得到∠ACO的余弦值．
解答：解：（1）∵=（-1，2），=（1，3），=（3，m）．
∴=-=（2，1），=-=（2，m-3）
∵点A，B，C能构成三角形，
∴向量、不能共线，得2（m-3）≠1×2，所以m≠4，
即m满足的条件是m≠4
（2）∵=（2，1），=（2，m-3）且△ABC是以B为直角顶点的直角三角形
∴•=2×2+1×（m-3）=0，解得m=-1
可得=（3，-1），
∴=-=（-4，3），=-=（-3，1），
此时，cos∠ACO===，
∴∠ACO的余弦值等于．
点评：本题给出A、B、C三点能构成三角形，求参数m的取值范围，着重考查了平面向量共线的充要条件和向量数量积运算性质等知识，属于中档题．