Question

6．已知圆C与y轴相切，圆心C（1，-2）
（1）求圆C的方程
（2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由所求圆与y轴相切，得到圆心的横坐标的绝对值为圆的半径，进而由圆心C的坐标和求出的半径写出圆的标准方程即可．
（2）假设存在满足题意的直线，方程为y=x+m，由直线与圆C相交，求出交点的坐标，由直线与圆的方程联立，消去y，根据根与系数的关系，结合OA⊥OB，求m的值即可．

解答 解：（1）∵圆心C的坐标为（1，-2），且所求圆与y轴相切，
∴圆的半径r|=1，
则所求圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=1；
（2）设存在满足题意的直线，且此直线方程为y=x+m，
直线与圆C相交于A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由OA⊥OB，得k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0；
由y=x+m与（x-1）²+（y+2）²=1，消去y得，
2x²+2（m+1）x+m²+4m+4=0，
∴x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²+4m+4）
又∵x₁x₂+y₁y₂=0，
y₁=x₁+m，y₂=x₂+m；
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，
即2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0；
∴m²+4m+4-m（m+1）+m²=0，
∴m²+3m+4=0
△＜0，∴不存在满足题意的直线．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，其中根据题意得到圆心横坐标的绝对值为圆的半径是解本题的关键．