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已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A、B.
(ⅰ)求证:直线AB恒过一定点,并求出该定点的坐标;
(ⅱ)在直线l上是否存在一点E,使得△ABM为等边三角形(M点也在直线l上)?若存在,求出点E坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)由题设知曲线C的方程x2=4y.
(Ⅱ)(ⅰ)设E(a,-2),,由题设知x12-2ax1-8=0.同理可得:x22-2ax2-8=0所以x1+x2=2a,x1•x2=-8,可得AB中点为,由此可知直线AB恒过一定点,并能求出该定点的坐标.
(ⅱ)由(ⅰ)知AB中点,直线AB的方程为,当a≠0时,AB的中垂线与直线y=-2的交点.若△ABM为等边三角形,则,∴,解得a=±2,此时E(±2,-2),故满足条件的点E存在,坐标为E(±2,-2).
解答:解:(Ⅰ)曲线C的方程x2=4y(5分)
(Ⅱ)(ⅰ)设E(a,-2),
过点A的抛物线切线方程为
∵切线过E点,∴,整理得:x12-2ax1-8=0
同理可得:x22-2ax2-8=0,∴x1,x2是方程x2-2ax-8=0的两根,∴x1+x2=2a,x1•x2=-8可得AB中点为

∴直线AB的方程为,∴AB过定点(0,2)(10分)

(ⅱ)由(ⅰ)知AB中点,直线AB的方程为
当a≠0时,则AB的中垂线方程为
∴AB的中垂线与直线y=-2的交点

若△ABM为等边三角形,则

解得a2=4,∴a=±2,此时E(±2,-2),
当a=0时,经检验不存在满足条件的点E
综上可得:满足条件的点E存在,坐标为E(±2,-2).(15分)
点评:本题考查直线和圆锥曲线的综合问题,解题时要注意公式的灵活运用,注意计算能力的培养.
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(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A、B.
(ⅰ)求证:直线AB恒过一定点,并求出该定点的坐标;
(ⅱ)在直线l上是否存在一点E,使得△ABM为等边三角形(M点也在直线l上)?若存在,求出点E坐标,若不存在,请说明理由.

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已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线y=-2的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F作直线l与曲线C交于A、B两点.
(ⅰ)过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,证明:MA⊥MB;
(ⅱ)是否在y轴上存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.

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已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA、EB,切点为A、B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.

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已知曲线C上的动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=-1的距离大1.
(I)求曲线C的方程;
(II)过点F(2,0)且倾斜角为α(0<α<
π2
)
的直线与曲线C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:|FP|-|FP|•cos2α为定值,并求出此定值.

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已知曲线C上的动点P(x,y)满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B(1,0)距离之比为
2

(1)求曲线C的方程.
(2)过点M(1,2)的直线l与曲线C交于两点M、N,若|MN|=4,求直线l的方程.

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