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(本题满分12分)

如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.

(Ⅰ)  求证:平面

(Ⅱ)  求二面角的余弦值.

 

【答案】

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为.

【解析】(I)可证, ∵面面ABC,从而把面面垂直转化为线面垂直.证得平面ACD.

(II) 取的中点的中点,连结,, 然后证明, 得到

二面角的平面角, 问题到此基本得以解决.也可利用向量法求解.

解法一:(Ⅰ)在图1中,可得,从而,

                        ……………………………………………-3分

∵面,面,,

从而平面……………………………………………6分

(Ⅱ)取的中点的中点,连结,

的中点  的中位线,的中

位线,∴,

又(Ⅰ)可知平面

 ∴平面

平面 ∴

  ∴

连结,∵ ∴平面

平面, ∴

是二面角的平面角……………………………………………9分

中,,,∴

∴二面角的余弦值为.……………………………………………12分

解法二: (Ⅰ)在图1中,可得,从而,

                      ……………………………………………2分

中点连结,则,又面,

,,从而平面,…………………………4分

                                                 

,,

平面              ……………………………………………6分

(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示,

,,,……8分

为面的法向量,

,解得

,可得……………………………10分

为面的一个法向量

∴二面角的余弦值为.…………………12分

 

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