Question

4．（1）设a，b，c均为正数，求证：$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2；
（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0（其中f′（x）是f（x）导函数）．已知g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）n∈N^*．
（1）求g₁（x），g₂（x）；
（2）猜想g_n（x）表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6，利用基本不等式可得：a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$≥6，得出矛盾，即可证明；
（2）：f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，（x≥0）．g（x）=xf′（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=g（g₁（x））=$\frac{x}{1+2x}$．猜想：g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 （1）证明：假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6，
而a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$≥6，矛盾，因此假设不成立，
故$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2；
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，（x≥0）．g（x）=xf′（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=g（g₁（x））=$\frac{x}{1+2x}$．
猜想：g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．
下面：利用数学归纳法证明：①当n=1时，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，成立．
②假设n=k时，g_k（x）=$\frac{x}{1+kx}$．
则n=k+1时，g_k+1（x）=g（g_k（x））=$g（\frac{x}{1+kx}）$=$\frac{x}{1+k•\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+（k+1）x}$，
∴当n=k+1时也成立，
∴?n∈N^*，g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式、基本不等式的性质、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．