Question

已知函数f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），g(x)=

x-a

 ， ( a∈R )．
（1）试求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）函数h（x）=f^-1（x）+g（x），求h（x）的定义域，并判断函数h（x）的增减性；
（3）（理）若（2）中函数h（x），有h（x）≥2在定义域内恒成立，求a的范围．
（文）若（2）中函数h（x）的最小值为3，试求a的值．

Answer 1

分析：（1）令y=f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），求出函数的值域，然后将x用y表示，再进行互换，根据原函数的值域即为反函数的定义域，从而求出所求；
（2）h(x)=f-1(x)+g(x)=

2x-1

  +

x-a

，讨论 a的正负，从而求出函数的值域，最后根据两增函数相加还是增函数可得函数的单调性；
（3）（理）讨论a的正负，分别求出函数h（x）的最小值，使最小值大于等于2，即可求出a的取值范围；
（文）讨论a的正负，分别求出函数h（x）的最小值使得最小值等于3，解方程即可．

解答：解：（1）令y=f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），
∴x²+1=2^y即x=

2y-1

（y≥0）
∴f-1(x)=

2x-1

 (x≥0)．
（2）h(x)=f-1(x)+g(x)=

2x-1

  +

x-a

，a＜0时，定义域为[0，+∞）；a≥0时，定义域为[a，+∞）；
此函数在定义域内单调递增（∵f^-1（x）与g（x）在公共定义域内均为增函数，∴它们的和也为增函数）．
（3）（理）当a≥0时，由h(x)min=h(a)=

2a-1

≥2⇒a≥log₂5．
当a＜0时，由h(x)min=h(0)=

-a

≥2⇒a≤-4．∴a的取值范围是（-∞，-4]∪[log₂5，+∞）．
（文）当a≥0时，由h(x)min=h(a)=

2a-1

=3⇒log210；
当a＜0时，由h(x)min=h(0)=

-a

=3⇒a=-9．∴所求的a的值为a=log₂10或a=-9．

点评：本题主要考查了反函数，以及原函数与反函数的关系，同时考查了函数的定义域和单调性和恒成立问题，是一道综合题．