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如图,已知圆O:x2+y2=1,O为坐标原点.
(1)边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上,C、D在圆O外,当点A在圆O上运动时,C点的轨迹为E.
①求轨迹E的方程;
②过轨迹E上一定点P(x,y)作相互垂直的两条直线l1,l2,并且使它们分别与圆O、轨迹E相交,设l1被圆O截得的弦长为a,设l2被轨迹E截得的弦长为b,求a+b的最大值.
(2)正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦,求线段OC长度的最值.
【答案】分析:(1)①由题意知OA2+OB2=AB2,在△OBC中,OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5.由此可知轨迹E的方程;②设点O到直线l1,l2的距离分别为d1,d2,因为l1⊥l2,所以d12+d22=OP2=x2+y2=5,由此可知≤4=4[12-2(d12+d22)]=4(12-10)=8,即a+b的最大值.
(2)设正方形边长为a,∠OBA=θ,则.当A、B、C、D按顺时针方向时,如图所示,在△OBC中,,由,此时;当A、B、C、D按逆时针方向时,在△OBC中,.由此可知,线段OC长度的最小值为,最大值为
解答:解:(1)①如图连接OB,OA,因为OA=OB=1,AB=,所以OA2+OB2=AB2
所以,所以,在△OBC中,OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5,(2分)
所以轨迹E是以O为圆心,为半径的圆,
所以轨迹E的方程为x2+y2=5;(3分)
②设点O到直线l1,l2的距离分别为d1,d2
因为l1⊥l2,所以d12+d22=OP2=x2+y2=5,(5分)


≤4=4[12-2(d12+d22)]=4(12-10)=8,(8分)
当且仅当,即时取“=”,
所以a+b的最大值为;(9分)
(2)设正方形边长为a,∠OBA=θ,则
当A、B、C、D按顺时针方向时,如图所示,在△OBC中,
==
,此时;(12分)
当A、B、C、D按逆时针方向时,在△OBC中,
==
,此时,(15分)
综上所述,线段OC长度的最小值为,最大值为.(16分)
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要注意数形结合.
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(1)边长为
2
的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上,C、D在圆O外,当点A在圆O上运动时,C点的轨迹为E.
①求轨迹E的方程;
②过轨迹E上一定点P(x0,y0)作相互垂直的两条直线l1,l2,并且使它们分别与圆O、轨迹E相交,设l1被圆O截得的弦长为a,设l2被轨迹E截得的弦长为b,求a+b的最大值.
(2)正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦,求线段OC长度的最值.

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精英家教网如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,点P(-1,1)为圆O上一点.曲线C是以AB为长轴,离心率为
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的椭圆,点F为其右焦点.过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明:直线PQ与圆O相切.

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精英家教网如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A、B两点,P在圆O上运动(不与A、B重合),过P作直线l1,OS垂直于l1交直线l2:x=-3于点S.
(1)求证:“如果直线l1过点T(-1,0),那么
OP
PS
=1
”为真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.

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(本小题满分15分)如图,已知圆Ox2+y2=2交x轴于AB两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其右焦点为F.若点P(-1,1)为圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.(1)求椭圆C的标准方程;

(2)证明:直线PQ与圆O相切.

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如图,已知圆Ox2+y2=2交x轴于AB两点,点P(-1,1)为圆O上一点.曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,点F为其右焦点.

过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q

(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明:直线PQ与圆O相切.

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