分析 设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆的定义和三点共线取得最小值,可得$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$,椭圆mx2+y2=4m可化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$,∴a=2,c=$\sqrt{4-4m}$,进而得到关于m的方程,解方程可得m的值.
解答 解:设F1(-c,0),F2(c,0),
由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|,
即|PF2|=2a-|PF1|,
则|PA|-|PF2|=|PA|-(2a-|PF1|)=|PA|+|PF1|-2a,
≥|AF1|-2a=$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a,
当A,P,F1共线时,|PA|+|PF1|取得最小值$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a,
∵|PA|-|PF2|的最小值为$-\frac{4}{3}$,∴$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$,
椭圆mx2+y2=4m可化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$,∴a=2,c=$\sqrt{4-4m}$,
∴$\sqrt{8-4m}$=$\frac{8}{3}$,
∴m=$\frac{2}{9}$.
故答案为:$\frac{2}{9}$.
点评 本题考查椭圆方程与性质,注意运用椭圆的定义和三点共线取得最小值是关键.
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A. | (-∞,-2) | B. | (-2,3] | C. | (0,+∞) | D. | (-∞,3) |
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A. | $\frac{π}{2}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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