Question

观察等式sin215°+sin275°+sin245°=

3

2

，sin210°+sin270°+sin250°=

3

2

，请写出与以上等式规律相同的一个一般化的正确等式，并给予证明．

Answer 1

分析：分析已知条件中：sin215°+sin275°+sin245°=

3

2

，sin210°+sin270°+sin250°=

3

2

，我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答：解：一般化的正确等式为sin2x°+sin2(60°+x°)+sin2(60°-x°)=

3

2

．（5分）
证明：sin²x°+sin²（60°+x°）+sin²（60°-x°）
=

1-cos(2x)°

2

+

1-cos(120°+(2x)°)

2

+

1-cos(120°-(2x)°)

2

（8分）
=

1-cos(2x)°

2

+

1-cos120°cos(2x)°+sin120°sin(2x)°

2

+

1-cos120°cos(2x)°-sin120°sin(2x)°

2

（12分）
=

1-cos2x°+1+ 1 2 cos2x°+1+ 1 2 cos2x°

2

=

3

2

．（14分）

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．