Question

已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a、b为实数．
（1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）求出x=a+1处的导数值即切线的斜率，令其为12，列出方程，求出a的值．
（2）据导函数的形式设出f（x），求出导函数为0的两个根，判断出根与定义域的关系，求出函数的最值，列出方程求出f（x）的解析式．

解答：解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12
∴3（a+1）²-3a（a+1）=12
∴3a=9∴a=3
（2）∵f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b
∴f(x)=x3-

3

2

ax2+b
由f′（x）=3x（x-a）=0得x₁=0，x₂=a
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）
∵f（0）=b，
∴b=1
∵f(1)=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，f(-1)=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a
∴f（-1）＜f（1）
∴f（-1）是函数f（x）的最小值，
∴-

3

2

a=-2
∴a=

4

3

∴f（x）=x³-2x²+1

点评：曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．