Question

13．在△ABC中，已知a-b=c（cosB-cosA），则△ABC的形状是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等边三角形
• D． 等腰或直角三角形

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosA与cosB，代入已知等式整理得到a=b或a²+b²=c²，即可确定出三角形形状．

解答 解：由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
代入a-b=c（cosB-cosA）中，得：a-b=c（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$），
即a-b=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2a}$-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2b}$，
两边乘以2ab得：2a²b-2ab²=a²b+c²b-b³-ab²-ac²+a³，
移项合并得：a²b-ab²+（-c²b+ac²）-（a³-b³）=0，
整理得：ab（a-b）+c²（a-b）-（a-b）（a²+ab+b²）=0，
分解得：（a-b）（ab+c²-a²-ab-b²）=0，即（a-b）（c²-a²-b²）=0，
可得a=b或a²+b²=c²，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D．

点评 此题考查了余弦定理以及三角形面积公式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．