Question

6．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点M是侧棱AA₁的中点，点P、Q分别是侧面BCC₁B₁、底面ABC内的动点，且A₁P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱长均为2，可得答案．

解答 解：∵点P是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁P∥平面BCM，
则P点的轨迹是过A₁点与平面MBC平行的平面与侧面BCC₁B₁的交线，
则P点的轨迹是连接侧棱BB₁，CC₁中点的线段l，
∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，
则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m，

故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱长均为2，
故线段m的长为：$\frac{2}{3}$×2=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$

点评 本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．