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已知a∈R,
命题p:实系数一元二次方程x2+ax+2=0的两根都是虚数;
命题q:存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1.
试判断:命题p和命题q之间是否存在推出关系?请说明你的理由.
【答案】分析:利用一元二次方程根的个数与△的关系,可得实系数一元二次方程x2+ax+2=0的两根都是虚数,即△<0,进而求出参数a的取值范围,再根据复数模的计算公式,根据复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1,可计算出命题q中参数a的取值范围,然后根据两个范围对应集合之间的关系,易判断命题p和命题q之间是否存在推出关系.
解答:解:若命题p为真,可得
若命题q为真,可知复平面上的圆x2+y2=4和圆(x+a)2+y2=1有交点,
于是由图形不难得到a∈[-3,-1]∪[1,3],
若令集合,集合B=[-3,-1]∪[1,3],
可知集合A和集合B之间互不包含,
于是命题p和命题q之间不存在推出关系.
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,及充要条件的定义,其中求出两个命题中参数的范围,将命题之间的包含关系转化为集合之间的包含关系,是解答本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

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命题p:实系数一元二次方程x2+ax+2=0无实根;
命题q:存在点(x,y)同时满足x2+y2=4且(x+a)2+y2=1.
试判断:命题p是命题q的什么条件(充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要条件)?请说明你的理由.

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