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是否存在一个三角形同时具有以下性质:
(1)三边是连续的三个自然数
(2)最大角是最小角的2倍.
【答案】分析:设三角形三边是连续的三个自然n-1,n,n+1,三个角分别为α,π-3α,2α,由正弦定理求得cosα=
再由余弦定理可得 (n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•,求得n=5,从而得出结论.
解答:解:设三角形三边是连续的三个自然n-1,n,n+1,三个角分别为α,π-3α,2α,
由正弦定理可得 ,∴cosα=
再由余弦定理可得 (n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•cosα,即 (n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•
化简可得n2-5n=0,∴n=5. 此时,三角形的三边分别为:4,5,6,可以检验最大角是最小角的2倍.
综上,存在一个三角形三边长分别为 4,5,6,且最大角是最小角的2倍.
点评:本题考查正弦定理、余弦定理的应用,求得n2-5n=0,是解题的难点,属于中档题.
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