Question

【题目】已知函数.

（1）若，函数图象上是否存在两条互相垂直的切线，若存在，求出这两条切线；若不存在，说明理由.

（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）数的取值范围是.

【解析】试题分析：

（1）求导可得，故对任意，都有，所以不存在两条互相垂直的切线．（2）根据导数可求得函数在上的最小值，然后根据在上有零点，函数的最小值小于等于可求得实数的取值范围是．

试题解析：

（1）当时，，

则，

所以对任意，都有，

故函数图像上不存在两条互相垂直的切线.

（2）因为在上有零点，

所以在区间上的最小值小于等于.

因为，

令，解得或.

①当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递增，

所以

由，解得，

所以.

②当时，则，

显然在上，单调递减；在上，单调递增，

故函数在处取得最小值，且，

因为，所以，符合条件，

故.

综上可得实数的取值范围是.