Question

19．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）若PA=AB=2，求三棱锥D-BEC的体积．

Answer 1

分析 （1）利用中位线的方法在平面内找到与已知直线平行的直线，结合直线与平面平行的判定定理即可得到答案．
（2）利用等体积转化，即可求三棱锥D-BEC的体积．

解答 （1）证明：∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE；
（2）解：由题意，PO=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，∴E到平面DBC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥D-BEC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理，考查三棱锥D-BEC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．